量子力学通用方程:薛定谔方程

2017-05-18作者:[美] 布鲁斯 A.舒姆(Bruce A.Schumm) 著编辑:谢爽

到现在为止,我们考虑的是自由粒子,即不受任何自然力的作用、在空间做恒速直线运动的粒子(注3.8)。但自然之丰富多彩,正是因为事物通过自然力相互影响。所以我们需要把力纳入我们关于物质波动性的考虑之中。1926年,柏林大学的奥地利物理学家薛定谔率先做到了这一点。他的结果隐藏在一个著名的数学关系中,叫做薛定谔方程。


薛定谔发现,要把力引入新出现的量子理论,最自然的方法并不是引入力对于被描述粒子的推和拉,而是引入与力的推拉作用相当的势能。所以让我们先介绍势能的概念。



考虑一辆没有挂上档的汽车驶上山坡,我们忽略轴承的摩擦和轮胎与路面的摩擦。车在爬上山坡的同时失去速度,故而失去动能。但能量是守恒量。车在山脚(那时它速度快)和在山上停止并开始向后退的那一刻,能量必定是一样的。


那么车在山脚时动能形式的能量到哪里去了呢?当车沿山坡向上行时,它对抗重力的吸引而减速,它的动能转变为重力势能。在车达到最大高度并开始向后退之前的那一点,它的速度为零,车的全部能量都转变为重力势能。在这一点上车具有的势能等于车在开始上坡前所具有的动能。


把这种重力能叫做“势”,是因为它具有对车做功、从而恢复其原有动能的潜势。如果车向后退下山,在达到山脚时它将具有与上山前同样的速率(只要没有摩擦),这时重力势能完全实现了它转变为动能的潜势。


如果在车达到最高点时我们用什么东西阻挡了车轮,势能就被锁住了。但能量还在,成为车的物理状态的一个具体方面。只要移除阻挡,这势能就实现其潜势而产生动能。势能是物体在某种力的作用下储存于物体的一种能量形式。


车的势能决定于车的位置。用数学语言来说,车的势能是车位置的函数。在此例中,车的位置就是车从山脚沿着道路运动的距离x。在山脚处势能为零,就是说,没有动能转变为势能。当车驶上山,到了越高的位置,速率越小,故动能越小。这恰是因为在越高处,重力势能越大;就是说,车越高,重力对车做功使它回到山脚的潜势越大。因为总能量守恒,车失去的动能必定转变为势能。


如果我们用V表示重力势能,则V(x)表示这个势能函数。就是说,势能V在任何给定的位置x上具有唯一确定之值V(x)。


在我们的例子里,势能是重力势能,物体是汽车。一般地,势能可以是四种力中任何一种的势能,物体可以是任何带有相应的荷的东西(质量是与重力对应的荷)。


下面是薛定谔方程的完整表示式。但这是薛定谔方程的一维形式(注3.9),只适用于一维运动的情形(例如车被限于沿着道路向前和向后运动,不向道路两侧运动也不能上下运动)。虽然如此,这仍是一个十分有用的方程,多年来物理学家花了不少功夫研究它:



熟悉微积分的读者知道,这是微分方程,包含微分运算(由第一项的微分算子d2/dx2表示),但不用担心。为了往下阅读本书,你不必懂得如何解此方程。但是需要做一些解释。


在普通代数里,方程式是一个未知量与一个或多个已知量的定量关系,使我们可以利用数学规则计算未知量。对于微分方程,未知的不是一个量而是一个函数。在薛定谔方程的情形下,未知函数ψ(x)是物体的波函数。


简单来说,薛定谔方程是确定物体波函数ψ(x)的“处方”。这是一张完整的处方,包含了可能用于确定粒子性质的一切,这个粒子具有质量m和能量E,且在某种力的作用之下,相应的势能函数是V(x)。如果你把这个微分方程当做物理学家玩的游戏,那么他们赢得游戏的方法是找到波函数的所有可能的解。注意,确定粒子物理条件的是势能函数V(x),例如氢原子中在质子电磁力作用下的电子具有某个势能函数等。


那么波函数ψ(x)表示什么呢?薛定谔方程结合了量子力学的所有原理和约束,表示出为确定一个粒子的物理条件我们需要知道的一切。因此,通过解薛定谔方程得到的波函数ψ(x),包含了对粒子物理状态可能知道的一切。所以,波函数ψ(x)是试图探测粒子性质的人们所能得到的一切物理信息的经济的编码。


虽然ψ(x)本身没有物理意义,一旦已知ψ(x),粒子的任何物理信息都可由之确定。如果你要知道在空间某点发现粒子的概率,你只需对ψ(x)做一特定计算:将该点上的ψ(x)平方。如果你要知道物体的动能,你做不同的计算(需要微分运算)。你也可以从ψ(x)计算粒子运动的速率和方向(在不确定性容许的范围内)。


现在,如果粒子是自由的(不受任何力),则无势能,即V(x)=0。在此情形下,薛定谔方程的解ψ(x)就是德布罗意猜想的那个波,波长为▌=h/p。所以正如我们希望的那样,薛定谔方程把德布罗意假设推广到了非自由粒子的情形。


因为这个理论叫做量子力学(虽然如前面指出的,也许叫做波动力学更好),我们该讨论量子化概念是如何进入这个理论的。



当我们用薛定谔方程中的势能函数V(x)考虑力的作用时,我们发现,对于给定的V(x),薛定谔方程的解只对总能量E的某些“容许值”存在。这是薛定谔方程解ψ(x)的一般性质,对任何势能函数V(x)都成立(注3.10)。E的特定容许值决定于函数V(x)的具体形式。


这样,薛定谔理论与观察到的量子行为相容。例如一个给定的原子,只能发射某些颜色(能量)的光,这些能量对应于原子在其两种可容许能量之间量子态的变化。发射出的光量子或即光子的能量,正好就是变化前后状态的能量之差(又是能量守恒!)。因为这些状态只被容许具有某些能量,发射的光也只限于某些相应的能量(颜色)。


顺便提一下,因为每一种原子有其唯一的势能函数V(x),发射(或吸收)的光的颜色是原子的特征。因为这个缘故,天体物理学家能够通过分析恒星到达地球的光来确定其组成。


最后,薛定谔方程由三项组成:等号左边有两项,右边有一项。第一项是一种数学表达,告诉我们在知道了ψ(x)后如何计算粒子在任意点x处所具有的动能。第二项是势能乘以x点上的波函数值。第三项(等号右边)是总能量乘上波函数ψ(x)。


所以,如果你看薛定谔方程中波函数所乘的因子,你会发现等号左边是x点处的动能和势能,而右边是总能量。由此看来,薛定谔方程就是如下事实的波动力学陈述:在任意点上的动能与势能之和等于总能量,就是说,薛定谔方程是量子力学形式的能量守恒定律。从能量守恒的这一量子力学表达,产生了规定粒子可能具有的量子力学波函数的一组完整的约束。这又一次说明了能量守恒定律的重要性(注3.11)。


量子力学的根本重要性的一个见证,是从它的发展中孕育出了物理学的诸多全新的领域,包括原子和分子物理学、固体物理学(半导体物理和微电子器件)和粒子物理学。物理学中的专门化现象就是随着这些领域的发展兴起的,如今在物理学的好几个领域里做出广泛贡献的科学家很少见了(但并不绝迹,意大利裔美国物理学家费米就是突出的例子)。


自此以下,我们的讨论必定要反映这种专门化的趋势,所以我们只好下一次再来游览其他丰富多彩的领域。但我们不会因此感到遗憾,因为在我们选择的路径上风景无限,肯定让我们不虚此行。我们的下一个目的地是量子场论。量子场论是基本量子理论的进一步发展,往往被认为是我们对于自然基本运行机制的认识上与量子理论本身一样重大的飞跃。


内容来源:书问

作者[美] 布鲁斯 A.舒姆(Bruce A.Schumm) 著
出版清华大学出版社
定价55元
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