写清楚熵公式的人

2017-08-04作者:张轩中, 黄宇傲天 编辑:谢爽

(1)


1900年的车轮朝我们驶来。一个波澜壮阔的大时代就要拉开帷幕。


1900年是一个历史的分水岭,在这之前被称为19世纪,有人总结了19世纪科学的三大发现:热力学第一定律(能量守恒定律),进化论和细胞学说。这总结虽然高屋建瓴,但其提倡者恩格斯后来写了一本所谓《自然辩证法》,有人拿去给爱因斯坦看,结果被爱因斯坦批判了一番,因此结下梁子,引起后来社会主义阵营对爱因斯坦相对论与爱因斯坦本人的批判浪潮。从物理学的角度来说,19世纪其实还有一个重要的发现,那就是发现了热力学第二定律。这个定律的发现和瓦特发明的蒸汽机的大规模工业应用有关系,早在19世纪30年代,德国就有一个叫卡诺(Sadi Carnot)的工程师,他很想知道什么样子的热机,能达到最大的效率,通俗地说,就是这个机器,吃得最少,干得最多——在初中的物理书里就讲过,机械效率等于有用功除以总功。但有没有什么热机,它能达到100%的效率呢?——通俗地说就是公司招聘一个员工,这个员工100%的把时间投入到工作之中,这样的员工存在吗?


绘画:张京


卡诺开始了他基于热质学说的不清不白的研究,因为搞不清楚热量到底是什么,所以他的研究并不符合现代科学的正统,但他最后研究出一个所谓卡诺循环,按照那个循环工作的热机,其效率最高。


别的研究者前赴后继,到了1880年,基本已经有了一个较为完善的热力学第二定律的双重表述:不可能存在100%效率的热机。


在1900年之前,一个集热力学理论之大成的人要出现了,这一个物理新秀,他把前人的这些思想总结出来,清晰地给出了一个数学公式,S=KlnW。


这个德国的年轻物理学家,就是普朗克(Max Karl Ernst Ludwig Planck,1858—1947)。公式中S表示熵,而W是微观状态的数目,有时候也被称为相空间的体积。


普朗克所做的这个数学公式,其实全部是玻耳兹曼的思想,因此这个时候他还没有多少创新精神。普朗克其实一辈子都算是一个保守的革命者,他后来鬼使神差地把物理学的大船开进量子力学的港湾,做了一次英雄船长。这是后话。


普朗克


玻耳兹曼计算微观状态数的核心思想,基本上就是组合数学的方法,我们可以举一个例子:把3个水果(分别是桃子、苹果和菠萝)放进2个抽屉(一个抽屉在写字台上,一个抽屉在床头柜上)里,有几种放置的办法?


因为每个水果的去向有2种可能,因此一个一个地分步骤来放水果,一共分3个步骤,根据乘法原理,一种有8种可能,也就是对应8个安放水果的微观状态。这个时候,我们可以套用普朗克所做的那个公式,系统的熵正比于ln8——换句话说,如果你是一个男生,和女朋友玩这个游戏,把你的眼睛蒙上,你女朋友把3个水果随机放在2个抽屉里,叫你去猜,对你来说,这个系统的熵正比于ln8,你猜对的概率是1/8。


玻耳兹曼当时也是这样思考问题的,当时他继承了英国物理学家麦克斯韦的分子运动论的一些思想,考虑把一个箱子用一个隔板分成大小相等的两半。从统计力学的角度来说,气体分子不可能全部处于盒子的右边,而使得左边保持真空,为什么呢?因为这样的事情,发生的概率实在太小。从物理上来说,如果这样的事情可以发生,就会引起右边箱子的温度高于左边箱子的温度。我们可以计算出左边箱子有n个分子的微观状态,你可以先从1000个里挑选出n个分子的组合数,这个数字的对数,就是有n个气体分子位于右边箱子里的可能性大小,这个分布所对应的熵是可以计算的,它的数值大小,给了我们一个判断依据,可以判断一些事情可能不可能发生。在这个问题中,熵的最大数值在n=500的时候取到。


玻耳兹曼


(2)


普朗克写出了熵公式以后,当时物理学界开始流传两个未解之谜,一个是麦克耳孙(Albert Abrahan Michelson)和莫雷(Edward Morley,1838—1923)在1880年就开始去测量地球在太空中运动的绝对速度,他们希望这个速度是相对于一个绝对静止的背景产生的,他们也天然地希望在地球上,迎着太阳光走和背着太阳光走,应该测量到不同的光的速度,但是,在实验中,他们似乎没有测量到光速的差异。这就好像是说,两辆相向而行的火车,和同向而行的火车,其速度之差是一样的,这让人很奇怪。当时因为没有电子技术,所以要处理微小的差异并不容易,但麦克耳孙和莫雷用光学的干涉仪做了这个实验,并且留下了第一个疑问,那就是一个绝对静止的背景是不是真的存在?运动到底是发生在什么舞台背景之上?


另外一个未解之谜则来自钢铁工业,德国当时处于工业化浪潮之中,产业在升级。大炼钢铁的过程中很自然的产生了一个技术问题,那就是如何测量铁水的温度?


铁水的温度大致上与它的颜色有关系,而颜色是由铁水发出的光波的波长决定的。当时在德国有一个叫维恩(Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien,1864—1928)的物理学家,得到了一个经验公式,他认为,决定铁水颜色的最主要的光波长和铁水的温度是成反比的,这被称为维恩位移定理,实际上这个定理是后来普朗克所发现的那条曲线的微分表达式——也就是曲线的极值所在点。这个定理非常实用,虽然维恩也不知道为什么会存在这样的定理,总的来说,这个定理就好像汽车的牵引力和速度之乘积是汽车的额定功率是一个常数那样,这背后有很复杂的多冲程的汽车发动机的工作原理存在,但当时是搞不太清楚。高温铁水发出的光,被称为黑体辐射,这个辐射有一个总的功率,当时玻耳兹曼和他的老师已经得到了这个总功率,是与温度的四次方成正比的。这个叫做斯忒番——玻耳兹曼定理,也就是后来普朗克所发现的那条曲线的积分表达式。这个温度四次方成正比的定理,和后来德拜发现的晶体热容的温度的三次方定理一起,构成了量子力学历史上的两个与温度简单关于的优美定律。


普朗克是以熵公式起家的,所以,他思考物理的时候,与别人不太一样,他不但从能量的角度思考黑体辐射曲线之谜,而且还从熵的角度加以分析。眼光不同,看到的物理自然也就不同。



对于黑体辐射来说,要解决的问题是,黑体辐射的功率谱密度到底是满足什么方程。当时人们已经知道,辐射可以作为气体,也有压强,也有熵和内能,从各个角度都可以证明辐射气体的能量密度和压强成正比,只差一个常数1/3。所以,光会产生所谓光压,一束光打在电风扇的叶片上,电扇叶会旋转。但是,辐射气体的熵和能量密度到底有什么关系呢?不同的学术流派得到不同的结论。


一种流派得到的熵和能量密度的微分与温度负的一次方成正比。而另外一个流派得到的熵和能量密度的微分与温度的负二次方成正比。这两个结果都不完全符合实验,实验家鲁本斯告诉普朗克,这两个流派的理论一个在长波处与实验相符合,一个在短波处与实验相符合。普朗克听到这个消息,他决定做一个简单的裁缝工作,把那两个一长一短的裤管做成一条裤子。


办法非常简单,用通分的办法就可以把两个式子整合起来,引进一个待定系数就可以。这个方法在实验数据的处理中非常常见,就是“内插法”。这个办法就好像要求一个班级学生的身高平均数值,我们可以先求出男生的平均身高,再求出女生的平均身高,然后再整合起来,得到一个新的平均数值。这对普朗克来说,一点也不难。


他把公式写出来,就是一个简单的微分方程,一积分,就得到了后来被当成普朗克黑体辐射曲线的那个方程。这个方程的曲线画出来很像一个少女的乳峰。普朗克也是莫名其妙,不知道为什么会这样。


“反正我就把结果发表出来,让那些实验物理学家去看看符合不符合他们的数据吧。”


于是,普朗克发表了他的乳峰曲线方程。这一天是1900年的10月25日,发表以后,他也知道这完全不像大物理学家的工作,因为他说不清楚这背后的物理道理。



内容来源:书问

作者张轩中 黄宇傲天
出版清华大学出版社
定价45元
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