芝诺悖论:你能追上乌龟吗?

2017-10-24作者:高鹏, 著编辑:茹鑫

阿基里斯是古希腊神话中的跑步健将。假设他和乌龟赛跑,他的速度为乌龟的10倍,乌龟在其前面10m处出发,他在后面追。芝诺可以证明,阿基里斯永远不可能追上乌龟!


当阿基里斯追到10m时,乌龟已经向前爬了1m;而当他追过这1m时,乌龟又已经向前爬了0.1m,他只能再追向那个0.1m(见图3-1)。因为追赶者需要用一段时间才能达到被追者的出发点,这段时间内被追者已经又往前走了一段距离,所以被追者总是在追赶者前面。这样,阿基里斯就永远也追不上乌龟!



图3-1 阿基里斯追乌龟


这个悖论的问题出在哪儿呢?乍一看,其逻辑推理确实是无懈可击的,但实际上这个推理建立的基础是:时间和空间是可以无限分割的。因为芝诺将追赶的过程分成了无穷多个部分,到后来阿基里斯与乌龟的距离无穷小,追上这段距离所需的时间也无穷小。如果时空真能无限分割,那么他就永远也追不上。


数学家们是这么解释的:阿基里斯虽然需要追赶无穷多段路程,每一段路程也需要一定时间,但这无穷多个时间构成的是收敛数列,也就是说,这个无穷数列的总和是有限的。假设阿基里斯速度是10m/s,则这无穷多个时间的总和是10/9s,即,



但是数学家们显然回避了另一个问题,就是阿基里斯如何在有限的时间里完成这无穷多个过程?只要是无穷,那就没有尽头,他怎么能一眨眼间就完成了呢?


玄而又玄的无穷


事实上,问题就出在这个无穷上。无穷大和无穷小都是数学中制造出来的很玄虚的概念,很多悖论都是在此基础上产生的。为什么说无穷大和无穷小很玄虚呢?我们来看看下面的例子。


正整数有无穷多个,正整数的平方也有无穷多个,即,



那么到底是正整数多呢,还是它们的平方数多呢?数学家们认为它们是一样多的,因为上下两列数字建立了一一对应关系。


可是从另一个角度看,平方数明明只是正整数的一部分,平方数应该远远少于正整数啊。从这个角度来看,平方数只和正整数中的一小部分建立了一一对应关系,即,



这两个数列都包含无穷多个数,也就是说它们的个数都是无穷大,那么这两个无穷大到底是什么关系呢?真是让人困惑。


无穷小也很玄虚。无穷小到底是多小?无穷小加无穷小是多少,无穷小乘无穷小呢,都是无穷小吗?多少个无穷小相加才能不是无穷小呢?恐怕谁也说不清楚。


造成上述糊涂账的原因就在于,无穷大和无穷小都是人们头脑中想象出来的东西,在真实世界中是不存在的!


事实上,人人都知道阿基里斯很快就能追上乌龟,既然如此,那就证明芝诺这个推理的基础是错的,也就是说,他不能将追赶的过程分成无穷多个部分,时间和空间是不能无限分割的,或者说,时间和空间是不连续的!


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内容来源:书问

作者高鹏
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